Aplicaciones de las Derivadas
1. Aplicaciones de la Primera derivada: Puntos críticos de una función
Decimos que para x = c existe un punto crítico en una función f (x) si: f' (c) = 0, o bien f' (c) no existe. El punto crítico sería (c, f(c))
1.1 Extremos relativos de una función
El Teorema de Fermat dice:
Si f(x) tiene un extremo relativo en x=c y f′(c) existe, entonces x=c es un punto crítico de f(x). De hecho, será un punto crítico tal que f′(c)=0
Gracias a este Teorema, sabemos que los extremos relativos serán siempre puntos críticos. Por lo cual, la lista de puntos críticos se puede considerar como una lista de posibles extremos relativos.
En la práctica, calcularemos estos extremos relativos encontrando los valores en los que f′ (x)=0, para después comprobar si es un máximo o un mínimo utilizando el estudio de monotonía, o la curvatura de la función en ese punto.
1.2 Extremos absolutos de una función
Los extremos absolutos también han de ser puntos críticos de la función (en el caso de que sea continua, si no es así, es fácil que estén en las discontinuidades). La peculiaridad de estos extremos, es que pueden darse también donde la derivada no está definida.
2. Aplicaciones de la segunda derivada:
2.1 Monotonía (Crecimiento y Decrecimiento)
Sabemos que la derivada es la pendiente de la tangente a la gráfica en un punto.
Gracias a eso, podemos concluir que la función será creciente en los puntos donde la derivada sea positiva, y decreciente en los puntos donde la derivada sea negativa.
2.2 Curvatura y punto inflexión (Concavidad)
La segunda derivada nos ayudará a descubrir si una función es cóncava hacia arriba, o cóncava hacia abajo (convexa).
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Si la f"(a) > 0 --> la función es cóncava en ese punto (abierta hacia arriba)
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Si la f"(a) < 0 --> la función es convexa en ese punto (abierta hacia abajo)
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Si la f"(a) = 0 --> la función tiene un punto de inflexión (cambio de curvatura) en el punto [a, f(a)]
Función Polinómica
Las funciones polinómicas, son continuas y sólo presentan cambio en este aspecto en los puntos con derivada = 0, que serán sus máximos y mínimos relativos. Veamos un ejemplo:
Función Racional
Las funciones racionales tienen asíntotas verticales en los que la derivada no existe, y añaden cierta dificultad, aunque no es muy distinto del anterior.
Función Trigonométrica
Las funciones trigonométricas, como funciones periódicas que son, requieren de un análisis centrado en un único periodo... que luego ampliaremos a todo el dominio.