Geometría Analítica 3D
¿Qué es la Geometría Analítica?
La Geometría Analítica es una rama de la Geometría que se centra en asociar ecuaciones algebraicas a curvas o superficies. Los matemáticos franceses Pierre de Fermat (1601-1665) y sobre todo René Descartes (1596-1650) fueron los principales creadores esta nueva disciplina matemática, también denominada geometría con coordenadas. De esta manera, consiguieron unir los elementos geométricos con los números a través de los sistemas de referencia.
Sistema de referencia
Se llama sistema de referencia del espacio afín E al conjunto (O, u1 ,u2 ,u3). Siendo O un punto de E y u1 ,u2 ,u3 tres vectores libres que forman una base de V. Si la base es ortogonal el sistema se llama sistema de referencia ortogonal y si es ortonormal se llama sistema de referencia ortonormal.
Las rectas OX, OY, OZ que pasan por O y son paralelas respectivamente a los vectores u1 ,u2 ,u3 se llaman ejes de coordenadas del sistema de referencia (O, u1 ,u2 ,u3) y el punto O se corresponde con el origen de coordenadas.
En adelante utilizaremos como sistema de referencia el sistema formado por el origen de coordenadas O(0,0,0) y la base canónica i , j , k .
Ecuaciones del Plano en el espacio
Ecuaciones de la recta en el espacio
Posiciones relativas entre 2 rectas
Según su posición relativa en el espacio, 2 rectas pueden ser:
Posiciones relativas entre 2 planos
En el caso de dos planos, estos podrán ser: paralelos, coincidentes o secantes.
Posiciones relativas entre 3 planos
En el caso de 3 planos, se darán 5 casos distintos, según la compatibilidad del sistema que forman sus ecuaciones:
-
Cortan en 1 punto cuando sea un S.C.D
-
Dos paralelos y uno secante a ambos en S.I. con rg(A) = 2
-
Se cortan en 1 recta cuando sea un S.C.I con rg(A) = 2
-
Los tres son paralelos S.I. con rg(A) = 1
-
Los tres son coincidentes S.C.I con rg(A) = 1
Ejercicios resueltos
Planos según condiciones dadas
Plano contiene recta, paralelo a otra
Plano pasa por punto, perpend a recta
Intersecciones
Intersección recta-plano
