Integrales por partes
¿De dónde proviene este método?
Las integrales por partes aprovechan la fórmula de la derivada de un producto.
Derivada de u·v = u'·v + u·v'
En la fórmula final, vemos que trataremos nuestra integral como un producto en el que uno de los factores permanece igual u, pero el otro será tratado como derivada de una función.
Lo interesante es que en la nueva integral que deberemos resolver, utilizaremos la integral de v, y la derivada de u (du).
¿Cuál será la mejor elección para la u y para la dv ?
La mejor elección para la u será siempre una polinómica, debido a que el método usará su derivada y bajará de grado. Para v utilizaremos una función que se integre facilmente. El mejor ejemplo para empezar con ellas es la siguiente integral.
Integral de x·e^x
u = x dv = e^x dx
du= dx v = e^x
Aprovechamos que la integral de la exponencial es sencilla y que la polinómica baja de grado al derivar...
¿Eso está muy bien, pero... existe algún truco?
Lo hay. La palabra ILATE es la más empleada. Nos da un orden de preferencia para elegir la función a derivar u
1. Logarítmica + Algebraica
Integral de lnx
Integral de x^2·lnx
2. Algebraica + Trigonométrica
Integral de x·cos^2(x)
Integral de x^2·sen(3x)
3. Trigonométrica + Exponencial
Integral de e^x·senx (cíclica)
Integral de e^2x·cosx (cíclica)
4. Inversa Trigonométrica + Algebraica