Trigonometría
La palabra Trigonometría significa "medición de los triángulos". Sin embargo, pronto nos daremos cuenta de que podríamos definirla inicialmente como la rama de la Geometría que se centra en las razones entre las longitudes de los lados en los triángulos rectángulos semejantes.
Sin embargo, esta definición quedará superada cuando ampliemos el estudio de estas razones trigonométricas a ángulos mayores de 90º... (todo se verá más adelante)
De la Semejanza a la Trigonometría
Vimos en el tema de Semejanza, que los triángulos eran semejantes cuando sus tres ángulos son iguales, de hecho sólo es necesario comprobar que dos ángulos coincidan para saber que se da la relación de semejanza.
Como vemos en la figura superior, el triángulo rectángulo es un caso particular, pues sólo necesitamos saber un ángulo (además del recto que ya se supone) para poder afirmar que existe semejanza.
Por ejemplo, podemos afirmar que todos los triángulos rectángulos con un ángulo de 60º son semejantes (sus otros dos ángulos medirán siempre 90º y 30º).
Veamos que consecuencias tiene esto...
En el centro vemos la "clásica" relación entre lados de dos triángulos semejantes.
Pero si despejamos esta igualdad de otra forma, aparecen tres razones distintas a la razón de semejanza. Son razones entre los lados de un triángulo rectángulo del cual conocemos un ángulo. Se les ha dado nombre (seno, coseno y tangente) por su gran utilidad.
El seno del ángulo es el cociente entre el cateto opuesto a dicho ángulo y la hipotenusa SOH
El coseno del ángulo es el cociente entre el cateto adyacente (forma parte del ángulo) y la hipotenusa CAH
La tangente del ángulo es el cociente entre el cateto opuesto y el adyacente. TOA
Estas razones sólo dependen del valor del ángulo. Serán muy útiles para resolver situaciones en las que conocemos un lado y un ángulo de un triángulo rectángulo.
En el vídeo resolvemos dos triángulos con esos dos datos.
¿Son sólo 3 las razones trigonométicas?
En realidad hay 6 razones trigonométricas. La cosecante es la inversa del seno.
La secante es la inversa del coseno.
La cotangente es la inversa de la tangente.
Realmente, estas razones se emplean mucho menos, por eso las dejaremos de lado durante un tiempo.
¿Hay que saber sus valores de memoria?
Desde luego que no. La calculadora nos da el valor de estas razones con solo pedirlo. (Hace años usaban tablas para consultarlas).
Sin embargo, las razones de 30º, 45º y 60º se consideran importantes porque son las más usadas... y no pueden pedir que deduzcamos su valor. (Como en el vídeo)
Problemas de Trigonometría
Desde un faro colocado a 20 metros sobre el nivel del mar, se observa un barco con un ángulo de depresión de 60º.
¿A qué distancia del faro se halla el barco?
La distancia entre 2 edificios de tejado plano es de 60 m. Desde la azotea del menor de los edificios, cuya altura es de 40 m, se observa la azotea del mayor con un ángulo de elevación de 40º.
¿Cuál es la altura del edificio más alto?
Un autobús que viaja a 70 km por hora toma un desvío recto que forma un ángulo de 30º con la avenida principal.
Hallar la distancia entre la avenida y el autobús después de 1 hora de viaje.
Calcula el área de un triángulo isósceles del que sabemos el lado desigual (40 cm) y el ángulo opuesto al mismo (30º)
Calcula el área de un rombo, conocidos la diagonal mayor (20 cm) y el ángulo opuesto a esta diagonal (120º)
Áreas de polígonos regulares
Área de un Octógono regular con lado 14 cm.
Ángulos a partir de lados
Calcula el ángulo de elevación y el ángulo de depresión en la situación de la figura
Problemas de doble observación y otros sistemas
La torre de control A observa un avión con un ángulo de elevación de 50º.
La torre de control B (a 12 km de la torre A, el línea con la trayectoria del avión) observa el aeroplano con un ángulo de elevación de 35º.
Calcula la altura del avión.
Hallar la altura del poste de la figura. Los ángulos de elevación son de 12º y 45º respectivamente. La distancia entre puntos de observación es de 14 metros.
Halla la altura de los bloques de la figura.
Distancia entre bloques 100 metros.
Ángulos dados de 20º y 75º.
Calcula la altura del árbol de la figura.
Ángulos de elevación 11º desde 1,5 m de altura y 12º desde 1 metro de altura.
Otros problemas...
Pasar 10% de pendiente a grados
Ángulo entre diagonales de un cubo
Teoremas del Seno y del Coseno
Teorema del Seno aplicado
Teorema del Coseno aplicado
Aplicación del Teorema del Coseno
